Wat zijn die zeven Millenniumproblemen precies?

“De wiskunde kent ontelbaar veel open problemen. Rond de eeuwwisseling zijn zeven belangrijke vraagstukken aangewezen die men graag in deze eeuw opgelost wilde zien. Aan elk probleem werd een prijs van een miljoen dollar verbonden. Dat betekent overigens niet dat dit per se de zeven belangrijkste problemen uit de hele wiskunde zijn.”

Wat is het Navier-Stokes vraagstuk?

“Het Navier–Stokes-probleem gaat over een wiskundig model voor vloeistofstromen, bijvoorbeeld voor hoe water stroomt. In het model wordt ook rekening gehouden met viscositeit: hoe stroperig een vloeistof is. Vanuit een bepaalde begintoestand, waar de vloeistof zich bevindt, met welke snelheid ze stroomt en welke krachten erop werken, is de vraag of er altijd één unieke oplossing bestaat die voor alle tijd geldig blijft. Het kan namelijk gebeuren dat een systeem in eindige tijd als het ware ‘explodeert’. In dat geval blijft de oplossing niet voor altijd geldig.”

Op welke manier zegt OpenAI dit probleem te hebben opgelost?

“Ze hebben een tegenvoorbeeld gegeven. Daarmee is het antwoord op de oorspronkelijke vraag ‘nee’: er zijn situaties waarin zo’n oplossing niet voor alle tijd blijft bestaan. Dat betekent niet dat gewone vloeistofstromen ineens problematisch worden. Aangetoond is alleen dat in dit model, en onder speciaal gekozen omstandigheden, de oplossingen niet voor alle tijd bestaan.”

Hoe weten we of zulk bewijs klopt?

“Het bewijs is geformaliseerd in LEAN. Dat is een formele taal waarin een computer stap voor stap kan controleren of de logische redenering klopt. Wat ik ervan heb begrepen, is dat die controle al is uitgevoerd. In die zin weten we dus dat het tegenvoorbeeld correct is.”

Is het probleem daarmee opgelost?

“In zekere zin wel, want er ligt een formeel antwoord. Maar de interessantere vraag is of we het probleem daardoor ook beter zijn gaan begrijpen. Alleen weten dat het antwoord ‘nee’ is, levert nog niet automatisch nieuwe kennis op. Idealiter gaan wiskundigen nu juist proberen te begrijpen waarom deze oplossing werkt en welke technieken erachter zitten.”

Verandert AI zo de manier waarop wiskunde wordt bedreven?

“Ja. Normaal gesproken los je een moeilijk probleem op doordat je de materie steeds beter gaat begrijpen. Hier is dat proces gedeeltelijk omgekeerd: het antwoord is er al, terwijl het menselijke begrip nog moet volgen. Daar zullen we als vakgebied iets mee moeten. Het feit dat AI zo’n beroemd probleem in korte tijd kan aanpakken, zet de wereld op zijn kop.”

Is dit een kantelpunt?

“Ja, en niet alleen voor de wiskunde. AI speelt al langer een rol, maar sinds dit jaar kun je er echt veel vooruitgang mee boeken. Er zijn al eerder bekende problemen met behulp van AI opgelost. Dit is alleen wel de eerste keer dat zo’n beroemd probleem van dit niveau op deze manier wordt aangepakt.”

Waarom is juist wiskunde zo geschikt voor AI?

“Wiskunde is heel precies. Een wiskundig antwoord kan vaak objectief als goed of fout worden beoordeeld. Dat maakt het heel geschikt om AI-systemen mee te trainen. Je kunt een model een antwoord laten geven, vervolgens controleren of dat antwoord klopt en het systeem op basis daarvan verbeteren. Om deze reden is er door AI-bedrijven ontzettend veel geld gepompt in het maken van AI-systemen goed en betrouwbaar wiskunde problemen op kunnen lossen, in de hoop dat dit leidt tot AI-systemen die minder hallucineren.”

Speelt AI een grote rol in wiskundig onderzoek?

“Ja. Het aantal artikelen dat dit jaar verschijnt is veel groter dan in eerdere jaren en bij veel daarvan wordt AI gebruikt. AI kan daarnaast helpen bij het zoeken naar literatuur, het formaliseren van wiskunde en het produceren van teksten. Die ontwikkeling gaat op dit moment heel snel.”

Wat betekent dit voor de rol van de wiskundige?

“Dat is nog moeilijk te zeggen. Op sommige gebieden kunnen mensen simpelweg niet met AI concurreren. Een AI-systeem kan veel meer bestaande wiskunde overzien en beschikt ook over veel meer rekenkracht. Misschien wordt het daardoor belangrijker dat wiskundigen de juiste vragen stellen en de antwoorden goed kunnen begrijpen en beoordelen. Tegelijkertijd wordt AI ook steeds beter in het formuleren van vragen.”

Heeft AI hier iets ‘begrepen’, of vooral heel veel mogelijkheden geprobeerd?

“Eigenlijk geen van beide. ‘Begrijpen’ vind ik bij AI een lastig woord, maar het systeem doorzoekt ook niet simpelweg alle mogelijke bewijzen. Het gebruikt grote hoeveelheden bestaande wiskundige kennis om mogelijke antwoorden te genereren. Vervolgens kan AI controleren welke onderdelen kloppen en de onderdelen die niet werken opnieuw proberen. Maar in zekere zin zijn de bewijzen die nu door AI worden gevonden nog voor een belangrijk deel menselijke bewijzen, want gebaseerd op al bestaande bewijzen in door mensen geschreven literatuur.”

Is dit een wetenschappelijke doorbraak of ook slimme marketing?

“Het is allebei. Het is een publiciteitsstunt, maar tegelijkertijd ook een wetenschappelijke doorbraak. Voor OpenAI gaat het niet om het miljoen dollar aan prijzengeld. Alleen al de benodigde rekenkracht heeft waarschijnlijk veel meer gekost. Maar zo’n resultaat levert natuurlijk wel enorm veel publiciteit op. Tegelijkertijd blijft het bijzonder dat een computer een probleem kan aanpakken waar mensen bijna tweehonderd jaar aan hebben gewerkt.”

Kan wiskunde zo ook een marketinginstrument voor AI-bedrijven worden?

“De eerste keer dat zoiets gebeurt, haalt het natuurlijk de krant. De tweede keer is het al minder bijzonder. Dat zagen we ook toen computers voor het eerst de beste schaak- en Go-spelers versloegen. Daarna wist iedereen dat computers dat konden. We zullen dus moeten zien hoeveel energie bedrijven als OpenAI blijven steken in het oplossen van theoretische wiskundeproblemen.”

Wat is voor u het grootste risico van deze ontwikkeling?

“Het grootste risico is dat we wel antwoorden krijgen, maar niet meer begrijpen waarom die antwoorden kloppen. Als een computer een bewijs geeft dat mensen zelf niet kunnen begrijpen, kun je je afvragen wat we daar uiteindelijk van leren. Juist door jarenlang met moeilijke problemen te worstelen, ontwikkelen wiskundigen nieuwe methodes die vervolgens ook bij andere problemen van waarde zijn.”

Kan AI ook tot méér begrip leiden?

“Zeker. Als AI oplossingen vindt en mensen daarna veel energie steken in het begrijpen van die oplossingen, kan dat tot enorm veel nieuwe inzichten leiden. Het zou zelfs een Gouden Eeuw voor de wiskunde kunnen betekenen. Maar als mensen alleen nog antwoorden van computers overnemen zonder ze zelf te begrijpen, kan het ook het einde van menselijke wiskunde betekenen. Daar ligt een grote uitdaging voor de wiskundige gemeenschap.”

Gebruikt u zelf AI in uw werk?

“Een klein beetje. Ik vind vooral dat ik moet weten wat ermee mogelijk is, ook om studenten en promovendi goed te kunnen begeleiden. Voor literatuuronderzoek is het bijvoorbeeld erg handig. AI kan snel relevante artikelen voorstellen, maar die suggesties zijn niet altijd correct. Je hebt dus nog steeds wiskundige expertise nodig om te beoordelen wat klopt en wat niet.”

Hoe kijkt u uiteindelijk naar deze ontwikkeling?

“Het is bijzonder interessant. Er wordt iedere dag over gesproken, ook aan de UvA en waarschijnlijk overal binnen wiskundefaculteiten. Dit is op dit moment echt hét onderwerp. Het is een spannende tijd. We zullen moeten zien wat de toekomst brengt, maar hopelijk hebben we daar als wiskundige gemeenschap zelf ook invloed op.”

Interview door Bodiel Siebers